약산, 약염기의 이온화 상수 근사 계산

화학II에서, 강산, 강염기의 경우 이온화 상수 \(K_{a}, K_{b}\)를 몰 농도 \(C\)와 이온화도 \(alpha\)를 이용해 \({C \alpha ^{2}} \over {1- \alpha}\)로 계산한다.  
그런데 약산의 경우 이온화도가 0.05보다 작으므로 \(1 - \alpha\)를 대략 1로 근사하여 \(C \alpha^{2}\)을 이온화 상수로 계산하는데, 이온화도가 거의 0에 가깝다면 분모에 있는 \(\alpha\) 뿐만 아니라 분자의 \(\alpha\)도 0에 가까워지는데 그럼 과연 \(C \alpha^{2}\)로 근사해도 되는걸까? (극단적으로 말하면 \(\alpha=0\)이라 하면 이온화 상수 전체 식이 0이 되지 않느냐? 그런데 왜 분자는 남기고 분모는 1로 보느냐? 라는 뜻이다.) 화학 선생님은 뭔가 이상한 비유를 들어서 설명했는데 딱히 잘 와닿지 않아서 \(C \alpha^{2}\)로 근사해도 되는 이유를 고민해봤다.    

그래서 테일러 급수를 이용해서 2차항까지 전개해봤다.  
원래 공식에서 몰 농도를 빼고 -1를 곱해서, \(f(x) = \dfrac{x ^{2}}{x-1}\)라고 하면,

$$f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x - 1}\\f^\prime(x) = 1 - \dfrac{1}{(x - 1)^{2}}\\f''(x) = \dfrac{2 (x - 1)}{(x - 1)^{4}} = \dfrac{2}{(x - 1)^{3}}\\f(x) \approx f(0) + \dfrac{f'(0) x}{1!} + \dfrac{f''(0) x^{2}}{2!} = -x^{2}$$  
따라서 \(\dfrac{C \alpha ^{2}}{1- \alpha} \approx C\alpha ^{2}\ (\alpha<<1)\)이다.