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문제 2.
2-1.
충돌 전후 운동에너지가 보존되므로 충돌 전후 상대속도 크기가 같다.
충돌 후 M,m의 속도를 각각 V,V+V0으로 두고 운동량 보존 수식을 세우면
MV0=MV+m(V+V0), 정리하면 V=M+mM−mV0
r:=M+mM−m으로 두자.
2-2.
Vn=rnV0이다.
첫번째 충돌은 M과 충돌하여 (1+r)V0의 속도를 가진다.
두번째 충돌은 두번째 공기 입자와 충돌하여 0의 속도를 가진다. (운동에너지 전부 전달)
세번째 충돌은 M과 충돌하여 r(1+r)V0의 속도를 가진다.
네번째 충돌은 두번째 입자와 충돌하여 0의 속도를 가진다. (두번째 입자가 세번째 입자와 충돌하여 정지해 있으므로 a는 두번째 입자와 충돌할 수 있다.)
k번 충돌 후, k가 짝수이면 vk=0, k가 홀수이면 r2k−1(1+r)V0의 속도를 가진다.
2-3.
T=rV0l0+r2V0l0+…+rnV0l0=rV0l01−r−11−r−n
정리하면 1−r−n=l0TV0(r−1)
평균 힘은 T동안 속도가 V0에서 rnV0으로 변하기에,
Fˉ=TMV0(1−r−n)=TMV0(1−1−l0TV0(r−1)1)=TMV021−TMV0(r−1)TMV0(r−1)=MV02l0+TV0(1−r)1−r
이 때 1−r=M+m2m≈M2m, l0=ρm
Fˉ=MV02ρm+TV0M2mM2m=MV02M+2ρTV02ρ
2-4.
M≪ρV0T면 MV022ρTV02ρ=TMV0
M≫ρV0T면 Fˉ=MV02M2ρ=2ρV02
ρV0T=0.01⋅V0⋅0.001는 M=1보다 V0가 1이든, 2든 매우 작다.
따라서 Fˉ=2ρV2이고 V0가 2배면 평균 힘의 크기가 4배가 된다.