2021 서울대 일반전형 면접 물리(문제 2)

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문제 2.

2-1.

충돌 전후 운동에너지가 보존되므로 충돌 전후 상대속도 크기가 같다.
충돌 후 $M, m$의 속도를 각각 $V, V+V_0$으로 두고 운동량 보존 수식을 세우면
$MV_0=MV+m(V+V_0)$, 정리하면 $V=\frac{M-m}{M+m}V_0$

$r:=\dfrac{M-m}{M+m}$으로 두자.

2-2.

$V_n= r^n V_0$이다.

첫번째 충돌은 M과 충돌하여 $(1+r)V_0$의 속도를 가진다.
두번째 충돌은 두번째 공기 입자와 충돌하여 0의 속도를 가진다. (운동에너지 전부 전달)
세번째 충돌은 M과 충돌하여 $r(1+r)V_0$의 속도를 가진다.
네번째 충돌은 두번째 입자와 충돌하여 0의 속도를 가진다. (두번째 입자가 세번째 입자와 충돌하여 정지해 있으므로 a는 두번째 입자와 충돌할 수 있다.)

$k$번 충돌 후, $k$가 짝수이면 $v_k=0$, $k$가 홀수이면 $r^{\frac{k-1}{2}} (1+r)V_0$의 속도를 가진다.

2-3.

$T=\dfrac{l_0}{rV_0}+\dfrac{l_0}{r^2V_0}+\ldots+\dfrac{l_0}{r^n V_0}=\dfrac{l_0}{rV_0}\dfrac{1-r^{-n}}{1-r^{-1}}$
정리하면 $1-r^{-n}=\dfrac{TV_0}{l_0} (r-1)$

평균 힘은 $T$동안 속도가 $V_0$에서 $r^n V_0$으로 변하기에,
$$\begin{align}\bar{F}&=\dfrac{MV_0}{T}(1-r^{-n})\\&=\dfrac{MV_0}{T}(1-\dfrac{1}{1-\dfrac{TV_0}{l_0}(r-1)})\\&=\dfrac{MV_0^2}{T}\dfrac{\dfrac{MV_0}{T}(r-1)}{1-\dfrac{MV_0}{T}(r-1)}\\&=MV_0^2 \dfrac{1-r}{l_0+TV_0(1-r)}\end{align}$$
이 때 $1-r=\dfrac{2m}{M+m} \approx \dfrac{2m}{M}$, $l_0= \dfrac{m}{\rho}$
$\bar{F}=MV_0^2 \dfrac{\dfrac{2m}{M}}{\dfrac{m}{\rho}+TV_0\dfrac{2m}{M}}=MV_0^2 \dfrac{2\rho}{M+2\rho TV_0}$

2-4.

$M \ll \rho V_0 T$면 $MV_0^2 \dfrac{2\rho}{2 \rho TV_0}=\dfrac{MV_0}{T}$
$M \gg \rho V_0T$면 $\bar{F}=MV_0^2\dfrac{2\rho}{M}=2\rho V_0^2$

$\rho V_0 T = 0.01 \cdot V_0 \cdot 0.001$는 $M=1$보다 $V_0$가 1이든, 2든 매우 작다.
따라서 $\bar{F}=2\rho V^2$이고 $V_0$가 2배면 평균 힘의 크기가 4배가 된다.