2021 서울대 일반전형 면접 물리(문제 2)

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문제 2.

2-1.

충돌 전후 운동에너지가 보존되므로 충돌 전후 상대속도 크기가 같다.
충돌 후 M,mM, m의 속도를 각각 V,V+V0V, V+V_0으로 두고 운동량 보존 수식을 세우면
MV0=MV+m(V+V0)MV_0=MV+m(V+V_0), 정리하면 V=MmM+mV0V=\frac{M-m}{M+m}V_0

r:=MmM+mr:=\dfrac{M-m}{M+m}으로 두자.

2-2.

Vn=rnV0V_n= r^n V_0이다.

첫번째 충돌은 M과 충돌하여 (1+r)V0(1+r)V_0의 속도를 가진다.
두번째 충돌은 두번째 공기 입자와 충돌하여 0의 속도를 가진다. (운동에너지 전부 전달)
세번째 충돌은 M과 충돌하여 r(1+r)V0r(1+r)V_0의 속도를 가진다.
네번째 충돌은 두번째 입자와 충돌하여 0의 속도를 가진다. (두번째 입자가 세번째 입자와 충돌하여 정지해 있으므로 a는 두번째 입자와 충돌할 수 있다.)

kk번 충돌 후, kk가 짝수이면 vk=0v_k=0, kk가 홀수이면 rk12(1+r)V0r^{\frac{k-1}{2}} (1+r)V_0의 속도를 가진다.

2-3.

T=l0rV0+l0r2V0++l0rnV0=l0rV01rn1r1T=\dfrac{l_0}{rV_0}+\dfrac{l_0}{r^2V_0}+\ldots+\dfrac{l_0}{r^n V_0}=\dfrac{l_0}{rV_0}\dfrac{1-r^{-n}}{1-r^{-1}}
정리하면 1rn=TV0l0(r1)1-r^{-n}=\dfrac{TV_0}{l_0} (r-1)

평균 힘은 TT동안 속도가 V0V_0에서 rnV0r^n V_0으로 변하기에,
Fˉ=MV0T(1rn)=MV0T(111TV0l0(r1))=MV02TMV0T(r1)1MV0T(r1)=MV021rl0+TV0(1r)\begin{align}\bar{F}&=\dfrac{MV_0}{T}(1-r^{-n})\\&=\dfrac{MV_0}{T}(1-\dfrac{1}{1-\dfrac{TV_0}{l_0}(r-1)})\\&=\dfrac{MV_0^2}{T}\dfrac{\dfrac{MV_0}{T}(r-1)}{1-\dfrac{MV_0}{T}(r-1)}\\&=MV_0^2 \dfrac{1-r}{l_0+TV_0(1-r)}\end{align}
이 때 1r=2mM+m2mM1-r=\dfrac{2m}{M+m} \approx \dfrac{2m}{M}, l0=mρl_0= \dfrac{m}{\rho}
Fˉ=MV022mMmρ+TV02mM=MV022ρM+2ρTV0\bar{F}=MV_0^2 \dfrac{\dfrac{2m}{M}}{\dfrac{m}{\rho}+TV_0\dfrac{2m}{M}}=MV_0^2 \dfrac{2\rho}{M+2\rho TV_0}

2-4.

MρV0TM \ll \rho V_0 TMV022ρ2ρTV0=MV0TMV_0^2 \dfrac{2\rho}{2 \rho TV_0}=\dfrac{MV_0}{T}
MρV0TM \gg \rho V_0TFˉ=MV022ρM=2ρV02\bar{F}=MV_0^2\dfrac{2\rho}{M}=2\rho V_0^2

ρV0T=0.01V00.001\rho V_0 T = 0.01 \cdot V_0 \cdot 0.001M=1M=1보다 V0V_0가 1이든, 2든 매우 작다.
따라서 Fˉ=2ρV2\bar{F}=2\rho V^2이고 V0V_0가 2배면 평균 힘의 크기가 4배가 된다.