By MilkClouds in Differential Equations — 2022년 1월 27일

미분방정식 정리 03 - Homogeneous Linear Differential Equations

이 게시글에서는 동차 선형미분방정식, 그 중 특히 이계미분방정식에 대한 해법을 다룬다. 일계 선형미분방정식에 대한 일반화된 해법은 앞서 다뤘고, 고계미분방정식에 대한 해법은 이계미분방정식의 해법에서 쉽게 확장할 수 있기 때문이다.

수치적 해법

$\ddot{x}=f(t,x,\dot{x})$에 대해, $\dot{x}$를 수치적분을 통해 예측한 후 이를 통해 $x$를 수치적분한다.

\[\dot{x}_{n+1}=\dot{x}_n+f(t, x_n, \dot{x}_n) \Delta t\]

\[x_{n+1}=x_n+\dot{x}_n \Delta t\]

(초깃값 $x(0)=x_0, \dot{x}(0)=\dot{x}_0$)

The principle of superposition

선형미분방정식에 대해, 두 해의 선형결합 또한 해라는 뜻.

선형대수에 대한 지식(basis)이 선행되어 있다면 어렵지 않게, 직관적으로도 이해할 수 있을 것이다.

참고로, 미분은 선형 연산자다. $\frac{d(af(x)+bg(x))}{dx}=a\frac{df(x)}{dx}+b\frac{dg(x)}{dx}$

The Wronskian

두 함수 $X_1$과 $X_2$에 대해, Wronskian은 아래와 같이 계산한다.

\[\|\begin{matrix}X_1 & X_2 \\ \dot{X}_1 & \dot{X}_2 \end{matrix}\|\]

이계선형미분방정식을 풀었을 때 두 해의 Wronskian이 0이 아니면 두 함수는 선형독립이며, 미분방정식의 해는 두 해의 선형결합으로 나타내어진다.

(동차) 해공간의 기저가 정말 2개일까?

참고

요약하자면, 3개라 가정하고 론스키안을 구하면 선형독립이 아니라는 결론이 나온다. 이계 선형 동차 미분방정식의 해공간의 기저는 2개다.

Homogenous Second-order ODE with constant Coefficients

\[a\ddot{x}+b\dot{x}+cx=0\]

위 미분방정식은 동차, 선형, 이계인데다 계수가 상수인 미분방정식이다.

미분 연산자 $D=\frac{d}{dt}$에 대해, 풀이는 다음과 같이 위의 미분방정식을 변형하여 할 수 있다.

\[(D-r_1)(D-r_2)x=0\]

이때 $r_1, r_2$는 각각 특성방정식의 해로서, $ax^2+bx+c=0$의 두 해이다.

$r_1 \ne r_2$인 경우, $(D-r_1)x=0$ or $(D-r_2)x=0$에서 $x=e^{r_1 t}, e^{r_2 t}$이다. 미분방정식의 해는 이들의 선형결합으로 나타내어진다. $x=Ae^{r_1 t}+Be^{r_2 t}$($r$이 실수가 아니라 복소수까지 확장되도 똑같이 성립함에 유의.)

$r_1 = r_2$인경우, $u=(D-r)x$로 치환하면 $(D-r)u=0$이고 $u=Ae^{rt}$, $x=e^{-(-rt)}(\int^{t} e^{-rt} Ae^{rt}+C)=(At+B)e^{rt}$

오일러 공식(참고)

$e^{it}=\cos{t}+i\sin{t}$ (오일러 공식)

이렇게 되는 이유는 설명하기 귀찮으니 검색하자.

Quiz(Root Finding Methods)

2e2t2 e^{2t}2e2t, 3e2t3e^{2t}3e2t

ete^tet, et−t0e^{t-t_0}et−t0​

sin⁡t\sin{t}sint, sin⁡(t−π/2)\sin{(t-\pi/2)}sin(t−π/2)

sin⁡t\sin{t}sint, sin⁡(t−π)\sin{(t-\pi)}sin(t−π)

x=12(X1+X2)\displaystyle x=\frac{1}{2}(X_1+X_2)x=21​(X1​+X2​)

x=12(X1−X2)\displaystyle x=\frac{1}{2}(X_1-X_2)x=21​(X1​−X2​)

x=0x=0x=0

x=X1(t)X2(t)x=X_1(t)X_2(t)x=X1​(t)X2​(t)

I only

IV only

I and III

II and IV

답은 3,4,3

Quiz(Homogenous Equations)

e2t(2−e−t)\displaystyle{e^{2t}(2-e^{-t})}e2t(2−e−t)

−e2t(1−2e−t)\displaystyle{-e^{2t}(1-2e^{-t})}−e2t(1−2e−t)

12e3t(3−e−2t)\displaystyle{\frac{1}{2}e^{3t}(3-e^{-2t})}21​e3t(3−e−2t)

  −12e3t(1−3e−2t)\displaystyle{-\frac{1}{2}e^{3t}(1-3e^{-2t})}−21​e3t(1−3e−2t)  

 et(cos⁡t+sin⁡t)\displaystyle{e^t(\cos{t} + \sin{t})}et(cost+sint)

et(cos⁡t−sin⁡t)\displaystyle{e^t(\cos{t} - \sin{t})}et(cost−sint)

et(cos⁡2t−12sin⁡2t)\displaystyle{e^t(\cos{2t} - \frac{1}{2} \sin{2t})}et(cos2t−21​sin2t)

e2t(cos⁡t−2sin⁡2t)\displaystyle{e^{2t}(\cos{t} - 2 \sin{2t})}e2t(cost−2sin2t)  

te−tt e^{-t}te−t

e−t(1−t)e^{-t}(1-t)e−t(1−t)

tett e^{t}tet

et(1−t)e^{t}(1-t)et(1−t)

답은 2,2,1

Assessment

θ˙=u\dot\theta=uθ˙=u
u˙=−u−sin⁡θ+cos⁡ω\dot u = -u -\sin{\theta} + \cos{\omega}u˙=−u−sinθ+cosω
Ω˙=ω\dot{\Omega} = \omegaΩ˙=ω

θ˙=u\dot \theta=uθ˙=u
u˙=−u−sin⁡θ+cos⁡Ω\dot u = -u -\sin{\theta} + \cos{\Omega}u˙=−u−sinθ+cosΩ
Ω˙=ω\dot{\Omega} = \omegaΩ˙=ω

u˙=θ\dot u=\thetau˙=θ
θ˙=−u−sin⁡θ+cos⁡ω\dot \theta = -u -\sin{\theta} + \cos{\omega}θ˙=−u−sinθ+cosω
ω˙=Ω\dot{\omega} = \Omegaω˙=Ω

u˙=θ\dot u=\theta\phantom{}u˙=θ
θ˙=−u−sin⁡θ+cos⁡Ω\dot \theta = -u -\sin{\theta} + \cos{\Omega}θ˙=−u−sinθ+cosΩ
ω˙=Ω\dot{\omega} = \Omegaω˙=Ω

Re{Z}{\rm Re}\{Z\}Re{Z}

Im{Z}{\rm Im}\{Z\}Im{Z}

ZZˉZ  \bar ZZZˉ

000

111

t0t_0t0​

1+t01+t_01+t0​

1−t01-t_01−t0​

I

IV

I and III

II and IV

  −e2t(1−2e−t)\displaystyle{-e^{2t}(1-2e^{-t})}−e2t(1−2e−t)

23e−t(1+12e−t)\displaystyle{\frac{2}{3}e^{-t}(1+\frac{1}{2}e^{-t})}32​e−t(1+21​e−t)

23et(1+12e−3t)\displaystyle{\frac{2}{3}e^t(1+\frac{1}{2}e^{-3t})}32​et(1+21​e−3t)

2e−t(1−12e−t)\displaystyle{2e^{-t}(1-\frac{1}{2}e^{-t})}2e−t(1−21​e−t)

e−t(cos⁡2t+12sin⁡2t)\displaystyle{e^{-t}(\cos{2t} + \frac{1}{2}\sin{2t})}e−t(cos2t+21​sin2t)

e−t(cos⁡2t−12sin⁡2t)\displaystyle{e^{-t}(\cos{2t} - \frac{1}{2}\sin{2t})}e−t(cos2t−21​sin2t)

e−t(cos⁡t+sin⁡t)\displaystyle{e^{-t}(\cos{t} + \sin{t})}e−t(cost+sint)

e−t(cos⁡t−sin⁡t)\displaystyle{e^{-t}(\cos{t} - \sin{t})}e−t(cost−sint)

te−tt e^{-t}te−t

e−t(1−t)e^{-t}(1-t)e−t(1−t)

tett e^{t}tet

et(1−t)e^{t}(1-t)et(1−t)

x0+u0(1−e−t)x_0+u_0(1- e^{-t})x0​+u0​(1−e−t)

x0−u0(1−et)x_0-u_0(1- e^{t})x0​−u0​(1−et)

x0(1−t)+(x0−u0)(1−et)x_0(1-t) +(x_0-u_0)(1-e^{t})x0​(1−t)+(x0​−u0​)(1−et)

x0(1+t)−(x0−u0)(1−e−t)x_0(1+t) -(x_0-u_0)(1-e^{-t})x0​(1+t)−(x0​−u0​)(1−e−t)

x0et−(x0−u0)(1−e−t)x_0e^t - (x_0-u_0)(1-e^{-t})x0​et−(x0​−u0​)(1−e−t)

x0e−t+(x0+u0)(1+et)x_0e^{-t} + (x_0+u_0)(1+e^{t})x0​e−t+(x0​+u0​)(1+et)

x0cos⁡ωt+u0ωsin⁡ωt\displaystyle x_0\cos{\omega t} + \frac{u_0}{\omega}\sin{\omega t}x0​cosωt+ωu0​​sinωt

x0cosh⁡ωt+u0ωsinh⁡ωt\displaystyle x_0\cosh{\omega t} + \frac{u_0}{\omega}\sinh{\omega t}x0​coshωt+ωu0​​sinhωt

x0et−(x0−u0)(1−e−t)x_0e^t - (x_0-u_0)(1-e^{-t})x0​et−(x0​−u0​)(1−e−t)

x0e−t+(x0+u0)(1+et)x_0e^{-t} + (x_0+u_0)(1+e^{t})x0​e−t+(x0​+u0​)(1+et)

x0cos⁡ωt+u0ωsin⁡ωt\displaystyle x_0\cos{\omega t} + \frac{u_0}{\omega}\sin{\omega t}x0​cosωt+ωu0​​sinωt

x0cosh⁡ωt+u0ωsinh⁡ωt\displaystyle x_0\cosh{\omega t} + \frac{u_0}{\omega}\sinh{\omega t}x0​coshωt+ωu0​​sinhωt

답은 2,3,1,4,4,3,3,1,3,3

미분방정식 정리 03 - Homogeneous Linear Differential Equations

수치적 해법

The principle of superposition

The Wronskian

(동차) 해공간의 기저가 정말 2개일까?

Homogenous Second-order ODE with constant Coefficients

오일러 공식(참고)

Quiz(Root Finding Methods)

1.

2.

3.

Quiz(Homogenous Equations)

1.

2.

3.

Assessment

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

미분방정식 정리 02 - 일계선형미분방정식의 응용, Quiz

미분방정식 정리 04 - Inhomogeneous Linear Differential Equations

수치적 해법

The principle of superposition

The Wronskian

(동차) 해공간의 기저가 정말 2개일까?

Homogenous Second-order ODE with constant Coefficients

오일러 공식(참고)

Quiz(Root Finding Methods)

Quiz(Homogenous Equations)

Assessment

미분방정식 정리 02 - 일계선형미분방정식의 응용, Quiz

미분방정식 정리 04 - Inhomogeneous Linear Differential Equations

You might also like...