복소수의 역원(feat. 사원수), a+bi의 역원은 a-bi의 상수배이다

일단은 고등학생을 대상으로 하는 글입니다.

1. 역원의 정의

쉽게 말해, 곱셈의 항등원 1에 대해, 어떤 수 $a$에 대한 곱셈의 역원은 $ab=1$을 만족하는 $b$를 이른다.

2. 복소수의 역원

$z=a+bi$의 역원은 다음과 같이 구할 수 있다.
$$z\bar{z}=a^2+b^2$$
양변을 $a^2+b^2$로 나누면
$$z\dfrac{\bar{z}}{a^2+b^2}=1$$

따라서 $\dfrac{\bar{z}}{a^2+b^2}$가 역원이 된다.

복소수의 norm

복소수의 역원을 한번 보자. 여기서 $\bar{z}$는 잘 알고 있으니 그렇다 치고 $a^2+b^2$의 정체는 뭘까?
바로 복소수의 "크기", $|z|^2$이다. 어떤 복소수 $z$의 norm은 $|z|^2=z\bar{z}$으로 구한다. 왜 굳이 $z^2$를 구하지 않고 한 쪽에 켤레를 취하냐, 아니면 왜 $a^2-b^2$은 아니냐, 에 대한 흔히들 말하는 설명으로는 norm은 음수가 되지 않기 때문이라는 설명을 들어봤으나 더 나은 설명이 있는지는 모르겠다. 조금 더 '자연스러운' 설명이 있을지 모르겠다.

다시 말해, $z$의 역원은 $\dfrac{\bar{z}}{|z|^2}$이다.

3. 사원수

해밀턴은 사원수를 실수부인 스칼라와 허수부인 벡터의 합이라고 부르기도 했다고 한다. 이 표현의 수학적 엄밀성은 차치하고 내포하는 의미는 직관적으로 이해하기 좋아 인용했다. 다시 말해, $a+\mathbb{v}=a+v_1 i+ v_2 j+v_3 k$에 대해 $a$는 실수부인 스칼라, $\mathbb{v}=(v_1, v_2, v_3)$는 허수부인 벡터가 된다.

복소수의 역원을 보면 사원수의 역원이 $\dfrac{a-\mathbb{v}}{|a+\mathbb{v}|^2}$가 아닐까? 하고 짐작할 수 있으며, 실제로 그렇다. 예를 들어, $a+bi+cj+dk$의 역원은 $\dfrac{a-bi-cj-dk}{a^2+b^2+c^2+d^2}$가 된다.

그래서 무슨 쓸모가 있는가?

https://www.acmicpc.net/problem/10909
Platinum 2 문제를 날먹할 수 있다. 솔직히 사원수의 역원, modular inverse에 대한 수학적 배경 지식만 있으면 왠만한 실버 문제보다 쉽게 풀 수 있다. 백준이 뭔지 모르는 사람은 위 링크를 무시해도 된다.