서울대학교 수학성취도 측정시험 풀이

기출문제 링크모든 문제를 풀지는 않고 주요 문항 위주로 해설합니다. 단답형 문제는 엄밀한 풀이보다는 실전적인 풀이를 구현합니다.

2020년 주요 기출 풀이

A-1. \({1 \over {x^2 - x}} = {1 \over {x-1}} - {1 \over {x}}\)이므로 답은 1

B-7. 근과 계수와 관계를 사용하되, 부호에 유의.

B-8. 평면과 구가 만나면 그 교선은 원을 이룬다. 원의 둘레를 n, k에 대한 식으로 나타내고 정적분하자.

B-9. \(x\)가 무한대로 갈 때, \(\sqrt{(ax+b)^2+c}\)는 대충 \(ax+b\)라는 것을 이용.

B-10. A국가 5명을 먼저 배치해둔 후, A 국가 사람 각각의 오른쪽 자리인 빈 자리 5자리에 B국가 5명을 채운다. 그럼 \({}_5 \mathrm {H}_5\)인데, 이 중 ABABABABAB 형식으로 교대로 배치되는 경우는 유일하고, ABBBBBAAAA와 같이 배치되는 경우(A와 B가 번갈아 배치되는 경우 이외의 모든 경우)는 AABBBBBAAA, AAABBBBBAA, AAAABBBBBA, AAAAABBBBB와 같은 경우까지 고려하면 5번이나 세진다. 따라서 \({ {}_5 \mathrm {H}_5 - 1 \over 5} + 1=26\)이 답이다.

B-13. 귀류법을 사용해도 되고, 다른 방식으로 풀어도 된다. 귀류법이 가장 편하더라.

C-14. 귀류법을 사용해서, \(\tan(1^\circ)\)가 유리수라고 가정하자. 그럼 \(\tan(60^\circ)\)는 탄젠트 덧셈법칙을 이용해 \(\tan(1^\circ)\)을 이용한 식으로 나타낼 수 있다. 유리수는 0으로 나누는 것을 제외한 사칙연산에 닫혀 있으므로, \(\tan(60^\circ)=\sqrt{3}\)이 유리수라는 결론이 나와서 모순이다. 따라서 \(\tan(1^\circ)\)는 탄젠트 함수의 치역을 생각하면 실수인데, 유리수가 아니므로, 무리수이다.

C-15. \(O(0,0), O'(6,0)\)이라 하고 길이가 1인 벡터 \(\vec a, \vec b\)를 만들자. 그럼 \(\overrightarrow {OP}=\overrightarrow a, \overrightarrow {OQ}=\overrightarrow {OO'}+\overrightarrow { b}\)로 나타낼 수 있다. 그럼 R은 \(\overrightarrow {OR} = \dfrac{2\overrightarrow {OO'}+2\overrightarrow {b}+\overrightarrow {a}}{3}\)으로 나타낼 수 있다.  \(\vec a, \vec b\) 모두 영벡터일 때 \(\overrightarrow {OR}=\dfrac{2\overrightarrow{OO'}}{3}\)이므로 R은 중심이 \((4,0)\)인 도형을 그린다. \(\vec a, \vec b\) 방향이 서로 반대일 때 R은 반지름이 최소(\(1 \over 3\))인 원을 그린다. \(\vec a, \vec b\) 방향이 서로 같을 때 R은 반지름이 최대(\(1\))가 되는 원을 그린다. 그리고 \(\vec a, \vec b\) 방향이 같지도, 반대이지도 않을 때 R은 반지름이 \(1 \over 3\)보다 크고 \(1\)보다 작은 원을 그린다.

따라서 R이 나타내는 도형의 넓이는 \((1 - {1 \over 3}^2) \pi={8 \over9} \pi\)이다.

C-16. 최대-최소 정리를 이용해 \(|f_0(x)|\)의 최댓값을 \(M\)으로 정해주고, \(|f_n(x)|\)이 무엇 이하인지 식을 정한다. 그리고 극한을 취해 0으로 가는 것을 보인다. 자세한 풀이는 위의 기출문제 링크에 문제와 같이 달려있는 답안지를 참고하자.

2019년 주요 기출 풀이

B-9. \(n^2 = n'\)으로 두고 구분구적법 공식으로 정적분 형태로 바꾼다.

B-11. 기하적으로 풀어도 되는데, 전체 도형 넓이는 겉넓이에 원 반지름을 곱하고 1/3을 곱한 값이라는 것을 이용해도 된다. (도형 4개로 분할해서 넓이 합 구하기)

B-13. 논술 해봤으면 대부분 이 문제는 알 텐데, (a)는 별 문제가 안 되고 (b) 해설 위주로 작성하겠다. (b)에서 극한 내부의 식은 자연로그를 씌우면 \(\ln({k \over n})\)의 합을 \(n\)으로 나눈 꼴이 된다. 즉, 구분구적법의 형태이므로 정적분 식으로 그대로 바꿔버리면 된다.

C-14. 나는 수능에 기하가 안 나와서 기하를 제대로 공부해본 적이 없어서 이런 문제에 약한 편이다. 도형의 형태 자체를 그냥 잘못 파악해서 틀렸다. 22학년도 이상의 학생 중 기하 선택자거나 그냥 기하에 감각 있는 학생은 쉽게 풀지도 모르겠다. 다만 올해는 기하가 수능 범위가 아닌 점을 고려해서 교수님이 기하 문제를 어렵게 내지 않으신다고 했으니 이런 문제는 쿨하게 거르고 넘어가도 무방할 듯하다. 물론 난 열악한 실력으로도 열심히 풀었지만.

C-15. 논술 대비자 특화형 문제다. (a)는 \(x\)에 \(x+h,x-h\)를 각각 넣어주면 해결할 수 있다. (b)는 나는 이렇게 풀었다. h를 충분히 작게 만들면, h에 충분히 큰 수인 n을 곱한 수를 이용해 모든 양의 실수를 표현할 수 있지 않을까 생각해서 이런 풀이를 하게 되었다.

\(|f(x+2h)-f(x)| \le 4h |x+h|\) (\(x\) 위치에 \(x+h\)를 넣으면 바로 나온다.)

\(|f(x+4h)-f(x+2h)| \le 4h |x+3h|\) (\(x\) 위치에 \(x+3h\)를 넣자.)

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\(|f(x+2nh)-f(x+2(n-1)h)| \le 4h |x+(2n-1)h|\)

위 \(n\)개의 식을 싹 다 더해버리고 \(x=1\)을 대입하면, \(f(1+2nh)-f(1) \le 4hn+4h^2n^2\)

\(x=1+2nh\)로 치환해서 치환해서 식을 정리하면 \(f(x) \le x^2\)

C-16. 카탈란 수를 안다면 그대로 풀면 되고 모르면 뭐 어떻게든 세면 된다. 예를 들어 (를 +1, )를 -1로 취급해서 ((를 2로 나타낼 때 이 수를 state라 하자. 이해를 돕기 위해 예시를 덧붙이자면 ()(의 state는 1, (()))의 state는 -1이다. 행렬 dp에 대해 i행 j열의 수 dp[i][j]를 문자열 길이가 i고, j가 state일 때 경우의 수로 두면, dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j+1]의 점화식을 세워서 dp 표를 쫙 채워 나가면 문제를 풀 수 있다. (물론 state<0일때 경우의 수는 모두 0으로 둔다.) 이 방법은 N번째 카탈란 수를 구할 때 \(O(N^2)\)의 시간복잡도가 들 것이다.

카탈란 수를 조합으로 나타내 구하면 O(N)O(N) 시간복잡도로 구할 수 있다. \(C_n=\dfrac{1}{n+1}{}_{2n} \mathrm {C}_{n}\)이기 때문에 \(C_6=132\)을 구하면 된다.

수학 문제에 필요도 없는 시간복잡도 구하는 건 프로그래머 특성상 어쩔 수 없다. 안 구하면 왠지 큰일날 것 같은걸...