미분방정식 Supplementary - Nondimensionalization

단진자의 운동방정식은 아래와 같이 나타내어진다.

\[ml\ddot{\theta}+cl\dot{\theta}+mg\sin{\theta}=F_0 \cos{\omega t}\]

$mg$로 양변을 나누면 무차원 변수의 합이 된다.

\[\frac{l}{g}\ddot{\theta}+\frac{cl}{mg}\dot{\theta}+\sin{\theta}=\frac{F_0}{mg}\cos{\omega t}\]

무차원 시간 $\tau$를 $\tau=\omega_0t$로 정의하자. ($\omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$)

그럼 $d\tau=\omega_0dt$이고, 위의 수식은 아래와 같이 나타내어진다.

\[\ddot{\tau}+\frac{c}{m\omega_0}\dot{\tau}+\sin{\theta}=\frac{F_0}{ml \omega_0^2}\cos{\frac{\omega}{\omega_0}\tau}\]

이는 아래와 같이 정리가 된다.

\[\frac{d^2\theta}{d\tau^2}+\alpha\frac{d\theta}{d\tau}+\sin{\theta}=\gamma \cos{\beta\tau}\]

즉, 처음의 운동방정식은 $\theta$가 종속변수고 자유변수가 $\alpha, \beta, \gamma$로 3개인 $\tau$에 대한 미분방정식으로 정리가 된다. 가장 처음 수식에서 $m, l, c, g, F_0, \omega$로 6개나 변수가 있던 것과는 대조적이다. 즉, nondimensionalization을 진행하며 변수가 줄어들었다는 사실을 알 수 있다.

이는 mass, length, time의 3변수가 fundamental units가 되기 때문이며, 이를 Buckingham Pi Theorem이라 부른다.