미분방정식 정리 02 - 일계선형미분방정식의 응용, Quiz
일계선형미분방정식의 응용
Continuous Compound Interest
Continuous Compound Interest는 연속적으로 지급되는 복리를 말한다. $t+\Delta t$ 시점의 자산 $S(t+\Delta t)$를 다음과 같이 정의하자. $r$은 단위시간에 대한 이율, $k$는 단위시간마다 추가로 얻는 자산을 말한다.
\[S(t+\Delta t) = S(t) + r\Delta t S(t) + k\Delta t\]
양변에서 $S(t)$를 빼고 $\Delta t$로 나눈 후에 $\Delta t$를 0으로 보내면(미분), 아래와 같은 결과가 나온다.
\[\frac{dS}{dt}=rS+k, S(0)=S_0\]
위의 미분방정식을 풀면 다음과 같은 결과가 나온다.
\[S(t)=S_0 e^{rt}+\frac{k}{r}e^{rt}(1-e^{-rt})\]
특히, $\lim_{r \rarr 0} S(t)=S_0+kt$이고 이는 이자율 0%로 단위시간당 $k$의 급여를 받는 것과 같다.
Terminal Velocity
떨어지는 물체가 $-mg$의 중력, $-kv$의 (공기)저항력을 동시에 받는다고 하자.
\[m\dot{v}=-mg-kv\]
\[\dot{v}+\frac{k}{m}v=-g\]
$v(0)=0$으로 두자. 떨어지는 물체가 힘의 평형을 이룰 때 $a=\dot{v}=0$이며 $v \rarr v_{\inf}$가 된다. 위의 수식과 엮으면 $v_{\inf}=-\frac{mg}{k}$이다.
미분방정식을 풀면
\[v(t)=-\frac{mg}{k}(1-e^{-\frac{kt}{m}})=v_{\inf}(1-e^{-\frac{kt}{m}})\]
RC Circuit
저항 $R$과 Capacitor $C$, 직류전원 $\varepsilon$이 연결된 직렬회로에서 키르히호프 법칙은 아래와 같이 나타난다.
\[\varepsilon = R \frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=RC\frac{V_C}{dt}+V_C\]
미분방정식을 풀면
\[V_C=\varepsilon(1-e^{-\frac{t}{RC}})\]
요약
초깃값이 $0$이 아니라 $S_0$인 Continuous Compound Interest 예제만 제외하면 모두가 똑같은 꼴이라는 걸 알 수 있다.
Quiz
답은 1,3,3
Assessment
답: 2,3,3,1,2,2,4,2,1,2