미분방정식 정리 04 - Inhomogeneous Linear Differential Equations
Inhomogenous second-order linear ODE
비동차 이계 선형 미분방정식에 대해, 미분방정식의 해는 동차 미분방정식의 해와 동차일 때의 해의 합으로 나타내어진다.
그 이유는 단순히, homogenous equation에 대한 해 $X_h$와 특정한 해 $X_p$에 대해 미분방정식의 선형성에 의해 $aX_h+X_p$ 역시 미분방정식을 만족하기 때문이다.
Inhomogenous term: Exponential Function
\[\ddot{x}-3\dot{x}-4x=3e^{2t}\]
위와 같이 inhomogenous term이 Exponential Function일 경우, $X_p$를 $Ae^{bt}$ 정도로 짐작해보라고 강의에서는 말한다.
다만, $Ae^{bt}$꼴이 $X_p$가 아니라 $(At+b)e^{kt}$꼴이 답일 때도 있고, 지수함수에 이차항이 곱해진 게 $X_p$일 때도 있다. Guess 없이 문제를 풀기 위해서는 미분방정식 강의 정리 후반부에 나오는 내용(라플라스 변환, 무한급수 사용 등)을 써야 할 것이다. 뭐 굳이 그렇게까지 안해도 그냥 지수함수 넣어서 답이 안 나오면 일차항을 곱한 꼴을 써보고, 그것도 안되면 이차항을 곱한 꼴도 써보면 되겠지만.
예를 들어 아래 같은 예시의 해는 지수함수에 이차항 곱한 꼴, $x(t)=c_1 e^t+c_2 e^{-t}+\frac{e^t t^2}{2}$이다.
\[\ddot{x}-2\dot{x}+x=e^t\]
Inhomogenous term: Sinusoidal
Inhomogenous term이 sinusoidal, sin함수나 cos함수일 경우 $A\cos{t}+B\sin{t}$ 정도로 짐작해보라고 강의에서 말한다.
또 다른 방법으로는, 오일러 공식을 이용해 복소수 $z$에 대한 미분방정식의 실수항(또는 허수항)이 원래의 미분방정식이라 두고 풀 수 있다.
자세한 예를 들어 설명하면, 아래의 미분방정식을 풀려고 할 때
\[\ddot{x}-3\dot{x}-4x=2sinx\]
아래 꼴로 바꾸어 $x$를 $Ae^{bt}$ 꼴로 짐작해서 풀어낸 후, Imaginary Part만을 취하는 것이다.
\[\ddot{z}-3\dot{z}-4z=2e^{it} \qquad (x=Im(z))\]
Resonance
\[\ddot{x}+\omega_0^2x=f\cos{\omega t}\]
위 미분방정식의 해는 아래와 같다.
\[X(t)=\frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2}(\cos{\omega t} - \cos{\omega_0 t})\]
만약 $\omega$가 $\omega_0$(공명진동수)에 가까워지면, $X(t)=tf\frac{\sin{\omega_0 t}}{2\omega_0}$로, 시간이 지남에 따라 $X(t)$가 무한대로 발산한다. 이러한 현상을 Resonance, 공명이라고 한다.
공명이 잘 일어나면 소리만 질러서도 유리잔을 깰 수 있으며(유리잔의 구성이 균일할수록, 즉 유리잔이 비쌀수록 잘 깨진다) 다리도 무너진 일이 있다. 관련해서는 인터넷을 찾아보거나 유튜브를 보자.
Applications
Application을 읽기에 앞서 아래 글을 먼저 읽고 오자.
RLC Circuit
\[L\frac{d^2 q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=\varepsilon_0 \cos{\omega t}\]
RLC Circuit에 대해 키르히호프 법칙을 적용하면 위와 같이 전하량 $q$에 대한 미분방정식을 얻을 수 있다.
편의상 $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$를 정의하고, $\tau=\omega_0 t, Q=\frac{\omega_0^2L}{\varepsilon_0} q$로 무차원 시간 $\tau$와 무차원 전하량 $Q$를 정의하자. 이들을 이용해 Nondimensionalization을 진행하면, 아래와 같이 미분방정식이 정리된다.
\[\frac{d^2 Q}{d\tau^2}+\alpha\frac{dQ}{d\tau}+Q=\cos{\beta \tau} \qquad(\alpha=\frac{R}{L\omega_0}, \beta=\frac{\omega}{\omega_0})\]
중간에 뭔가 이상함을 느낄 수 있는데, 아마 축전기의 최대 전하량 $C\varepsilon_0=1$이라는 걸 전제로 두고 수식을 전개했는데 그걸 미리 말을 안 해줘서 그런 것 같다. 강의를 들으면서 수식이 강의에서 소개한 것처럼 정리가 안 되는데 왜 이럴까 고민했었는데 단순히 저거 하나가 빠져서 그런듯.
기타 예시
강의에서 기타 예시로 Mass on a Spring, Pendulum을 소개한다. 무차원화시키면 결국 똑같은 형태로 전개되니, 궁금하면 강의를 직접 보자.
Damped Resonance
\[\ddot{x}+\alpha \dot{x}+x=\cos{\beta t}\]
위 수식에서 $\alpha>0$이면 $alpha$가 Damping Factor 역할을 한다고 소개한다.
예를 들어 Resonance가 일어나도(편의상 $\beta=1$로 두고 전개함), $\alpha$가 존재하면 $X_p=\frac{\sin{t}}{\alpha}$로 $X_p$가 $\alpha$가 클수록 작아진다.
Week Three Assessment
답
3,1,1,4,1,3,2,3,1,4