미분방정식 정리 05 - The Laplace Transform and Series Solution Methods
The Laplace Transform Method
라플라스 변환이란?
라플라스 변환은 함수 $f$와 복소수 $s$를 받아 아래 수식의 계산값을 출력한다. (발산할 수도 있다)
\[ F(s)= \mathcal{L}\{f\}(s)=\int^{\infty}_0 e^{-st}f(t)dt \]
수식은 위와 같은데, 중요한 점은 라플라스 변환은 선형변환(linear transform)이라는 점이다. 선형성을 띄는, 선형 미분방정식에 선형변환인 라플라스 변환을 적용하고, 해를 구한 후, 라플라스 변환의 역변환을 하면 원래의 미분방정식에 대한 해가 잘 나온다. 이는 라플라스 변환이 선형변환이기 때문이다. (이는 미분방정식의 eigenvalue만 따서 계산하는 방식이라 할 수 있다.)
선형변환 외에 라플라스 변환의 주요한 특징은, 원래 풀기 좀 어려운 미분방정식도 라플라스 변환 후에 풀기 쉬워지는 경우가 많다는 것이다. 그렇기 때문에, 선형 상미분방정식을 푸는 강력한 도구이며 선형 편미분방정식도 풀 수 있는 경우가 있다.
라플라스 변환의 꼴을 보면 푸리에 변환과 비슷하다는 것을 느낄 수 있는데(사실 똑같다), 라플라스 변환도 푸리에 변환과 비슷하게 해석하면 주파수 $-si$의 지수함수 $e^{(-si)t}$에 대한 진폭(amplitude)를 계산하는 것이 라플라스 변환이라 할 수 있다.
Constant Coefficient ODE의 라플라스 변환
ODE를 푸는 데 있어 라플라스 변환의 매우 큰 장점은, $\ddot{x}, \dot{x}$와 같이 시간에 대해 미분된 $x$을 라플라스 변환시키면 $\mathcal{L}\{x\}$과 상수만을 이용해 나타낼 수 있다는 것이다. (시간에 대한 정보가 다른 형태로 나타나면서 이렇게 변함)
이 글은 정리글이므로 자세한 과정은 생략하고, 라플라스 변환 표는 아래와 같은데 직접 유도하는 것도 어렵지 않으니 처음 접한다면 몇 개 정도는 직접 해보자.
계수가 상수인 ODE $a\ddot{x}+b\dot{x}+cx=g(t)$를 라플라스 변환하면 $a(s^2 X(s)-sx_0-u_0)+b(sX(s)-x_0)+cX(s)=G$ 꼴이 된다. 즉, $X(s)$만 좌변에 남기는 것을 매우 쉽게 할 수 있으며, 이렇게 했을 때 $X(s)$를 구하는 것은 어렵지 않은 경우가 많으며 $X(s)$를 구한 후 라플라스 변환의 역변환을 하면 $X(t)$를 구할 수 있다.
예시
\[\ddot{x}+x=\sin{2t}, x(0)=2, \dot(x)(0)=1\]
위 미분방정식을 라플라스 변환한 후에 풀고, 역변환하는 과정을 보인다.
\[\mathcal{L}\{\ddot{x}\}+\mathcal{L}\{x\}=\mathcal{L}\{\sin{2t}\}\]
\[s^2 X(s)-2s-1+X(s)=\frac{2}{s^2+4}\]
\[X(s)=\frac{2s+1}{s^2+1}+\frac{2}{(s^2+1)(s^2+4)}=2\frac{s}{s^2+1}+\frac{5}{3}\frac{1}{s^2+1}-\frac{1}{3}\frac{2}{s^2+4}\]
\[X(t)=2\cos{t}+\frac{5}{3}\sin{t}-\frac{1}{3}\sin{2t}\]
Practice Quiz: The Laplace Transform Method
답
2,3,3
Heaviside Step Function and Direc Delta Function
Heaviside Step Function이란?
Heaviside Step Function $u_c(t)=[t \ge c]=\begin{cases}0 & \text{if t $\lt$ c}\\ 1 & \text{if t $\ge$ c}\end{cases}$
Direc Delta Function이란?
디렉 델타 함수 $\delta(t)$는 함수라기보다 분포에 가까운데, 아래 성질을 만족한다.
\[\int^{\infty}_{0} f(t) \delta(t-c)dt=f(c)\]
아래와 같이 서술하는 경우도 있다.
\[\delta(t)=\begin{cases}\infty & \text{if $t=0$}\\ 0 & \text{if $t \ne 0$}\end{cases}\]
이름 그대로 물리학자 디렉이 만든 함수이며, 일시적으로 큰 힘($\infty$)이 가해졌을 때를 표현하기 위해 쓰이는 등 쓰임새가 있다.
Practice Quiz: Discontinuous and Impulsive Inhomogenous Terms
답
1, 4, 3
Series Solution Method
해석적(analytic)한 함수가 해일 경우에만 사용 가능하지만, 그래도 나름 강력한 미분방정식의 풀이 방법이 Series Solution Method이다. (non-analytic해도 smooth한 함수도 존재)
\[X(t)=\sum a_n t^n\]
위와 같이 $X(t)$의 꼴을 가정하고 미분방정식을 푼다.
Airy's Equation과 같이, 지금까지 배웠던 방식으로 풀지 못하는 비선형 ODE도 풀 수 있다.
Practice Quiz: Series Solution
답
3,4,4
Week Four Assessment
답
1,3,2,2,4,4,3,2,3,4