Jacobian Matrix

어떤 좌표계에서 다른 좌표계로 국소 영역이 이동할 때, 곱해지는 선형변환이 Jacobian Matrix가 된다. Jacobian Matrix의 determinant는 국소 영역의 면적이 몇배 변하는지, 결과적으로 전체 영역의 면적이 나타내게 된다.

좌표 변환의 일대일 대응 조건

Jacobian Matrix의 determinant(야코비 행렬식)가 0이 아니어야 한다.

Metric Tensor

$$ds=\frac{\partial s}{\partial x^i}dx^i \\ds^2=\frac{\partial s}{\partial x^i}\frac{\partial s}{\partial x^j}dx^i dx^j $$

첫째 줄은 단순히 전미분에 의하고, 둘째 줄은 단순히 첫째 줄의 제곱에 의한다.

위에서 \(\frac{\partial s}{\partial x^i}\frac{\partial s}{\partial x^j}=g_{ij}\), \(g\)가 metric tensor가 된다. \((0, 2)\) tensor이다.

다른 표현

\(g=J^TJ\), 이때 \(J\)는 Jacobian Matrix.

특히, determinant는 \(det(J)=\sqrt {det(g)}\)

예시

민코프스키 공간에서 \(ds^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=dx^2+dy^2+dz^2-c^2dt^2\)

즉 \(g_{00}=-1, g_{11}=g_{22}=g_{33}=1\)이고 나머지는 \(g_{ij}=0\)인 \(g\)가 metric tensor가 된다. (시간성분이 마지막이 아닌 첫번째로 가는 건 1970년 이후의 단순한 convention)