산술-기하 문제풀이 테크닉

대학교 와서 lagrange multiplier 예제문제 풀 때조차 계속 쓰는 테크닉이 있는데...

위 문제를 예시로 들어보면

$$r^2h\pi=200(cm^3)\\ 2r^2\pi+2\pi rh=2\pi(r^2+rh)=2\pi(r^2+\frac{rh}{2}+\frac{rh}{2}) \ge 2\pi\cdot 3 \sqrt[3]{\frac{r^4h^2}{4}}$$

문제 조건에 의해 \(r^2h\)가 상수이다. 따라서 좌변이 최솟값을 가질 때 부등식의 등호가 성립하고, 등호는 \(r^2=\frac{rh}{2}=\frac{rh}{2}\)일 때 성립한다. 따라서 \(2r=h\), \((r,h)=(\sqrt[3]{\frac{100}{\pi}},2\sqrt[3]{\frac{100}{\pi}})(cm)\)

핵심은 최대화하고 싶은 수식을 \(x=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\)등으로 변형해서, 각 항들을 다 곱해서 문제에서 준 상수값을 가진 항을 만들어 주는 것이다. 과고, 영재고 준비하는 학생들은 중학교 때부터 다 알고 있었다는데.. 알 사람은 다 아는건데 난 몰랐다. 고3 되서 공부 좀 열심히 할 때 처음 앎..